📊 统计特征
📈 频率分布直方图
🔢 随机数列表
📖 统计特征计算方法与意义
一、位置特征（集中趋势）
均值 x̄（Mean）
反映数据的中心位置，是最常用的集中趋势度量。它对极端值敏感：当数据存在明显偏态或离群点时，均值可能被拉向尾部，无法代表大多数观测值，此时应参考中位数。
中位数 M（Median）
将数据排序后位于正中间的值，是稳健的集中趋势度量。它不受极端值影响，适合描述偏态分布（如收入、房价）。当均值与中位数差异较大时，提示分布可能存在偏斜。
四分位数 Q₁、Q₃（Quartiles）
把排序后的数据按 25%、50%、75% 位置切分。Q₁ 以下有 25% 的数据，Q₃ 以下有 75% 的数据。两者配合中位数可构成箱线图，直观展示数据的主体范围与偏斜方向。
二、离散程度（波动大小）
极差 R（Range）
最大值与最小值的差，反映数据的总跨度。计算简单但极易受极端值影响，只依赖两个观测值，通常作为辅助参考。
四分位距 IQR（Interquartile Range）
中间 50% 数据的跨度，是稳健的离散度量。常用于识别离群点：通常把小于 Q₁ − 1.5·IQR 或大于 Q₃ + 1.5·IQR 的值视为异常值。
方差 s² / σ²（Variance）
总体方差：σ² = Σᵢ₌₁ⁿ (xᵢ − x̄)² / n （分母 n）
各观测值与均值差的平方的平均值，衡量数据偏离均值的整体程度。分母用 n−1 是为了修正用样本均值代替总体均值带来的偏差（Bessel 校正）。方差量纲是原数据量纲的平方，解释性较弱。
标准差 s / σ（Standard Deviation）
方差的算术平方根，量纲与原始数据一致，是最常用的离散度量。正态分布下约 68% 的数据落在 x̄ ± s 内，约 95% 落在 x̄ ± 2s 内，约 99.7% 落在 x̄ ± 3s 内。
变异系数 CV（Coefficient of Variation）
标准差与均值绝对值之比，是无量纲的相对离散度量。用于比较量纲不同或均值差异较大的两组数据的波动程度。CV 越小，数据越集中；一般 CV < 0.15 视为低波动。注意：均值接近 0 时 CV 会急剧放大，失去意义。
标准误 SEM（Standard Error of the Mean）
样本均值的抽样分布的标准差，衡量用样本均值估计总体均值的精度。样本量越大，SEM 越小，估计越精确。常与均值一起报告，写作 x̄ ± SEM；95% 置信区间约为 x̄ ± 1.96·SEM。
三、分布形状
偏度 g₁（Skewness）
衡量分布的不对称程度。正态分布的偏度为 0。
• g₁ > 0（右偏 / 正偏）：长尾在右侧，均值 > 中位数，例如收入分布、指数分布。
• g₁ < 0（左偏 / 负偏）：长尾在左侧，均值 < 中位数，例如考试成绩分布。
经验上 |g₁| < 0.5 视为近似对称，0.5 ~ 1 为中等偏斜，> 1 为高度偏斜。
峰度 g₂（Excess Kurtosis）
衡量分布的尖峭程度与尾部厚度。这里给出的是超额峰度（减去了正态分布的峰度 3），正态分布的超额峰度为 0。
• g₂ > 0（尖峰厚尾）：中心更尖、尾部更厚，极端值出现概率高于正态分布，例如金融收益率。
• g₂ < 0（平顶薄尾）：中心更平、尾部更薄，例如均匀分布（超额峰度 −1.2）。
经验上 |g₂| < 0.5 视为峰态接近正态。
偏度与峰度的标准误
SE(g₂) = √[24n(n−1)² / ((n−2)(n−3)(n+3)(n+5))]
用于检验偏度、峰度是否显著偏离 0。构造 z = g / SE(g)，若 |z| > 1.96（α = 0.05），则认为该分布与正态分布在相应形状指标上存在显著差异。样本量较小时（n < 8），这些标准误无定义。